Unidad I, Clase II, Teorema de limites.

enero 21, 2024

Unidad I, Clase II, Teorema de limites.

Limites

1. Aprendizaje personal:

El segundo sábado de la clase de calculo.

Inicie mi día desayunando a las 7:20 am. No me gusta o no acostumbro a desayunar temprano supongo que siempre debemos hacer cosas nuevas.

El primer tema fue limites, considero que fue un tema difícil, trate de enfocarme y poner toda mi atención, necesitamos tener la buena costumbre de repasar los temas y perderle el miedo a preguntar mas.

Aprendí lo que es un limite, lo que significa F(x), la palabra que mas usamos fue: "cuando x o c tiende a...". También comprendí NO usar decimales en calculo, y que es un dato indeterminado.

Me sentí satisfecha con la información proporcionada, el profesor explico muy bien, aclaro nuestras dudas y hasta bromeaba con nosotros.

2. Conocimiento complementario:

Límite de una función.

Noción intuitiva. Dada la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, veamos que sucede cuando la variable x se aproxima a un valor dado, que llamaremos c, no nos interesa lo que sucede exactamente en c. Analicemos a que valor se acerca la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 cuando x se acerca a 2, sin importarnos que sucede en x= 2. Los valores de x se acercan a 2 por la izq.Los valores de x se acercan a 2 por la der. En la tabla se observa que a medida que los valores de x se acercan a 2 por la izquierda y por la derecha los valores de la función se acercan cada vez más al valor 3. y 4 3 2 1 1 2 3 4x El valor al cual se acerca la función 𝑓(𝑥), cuando x se acerca a c, lo llamaremos límite L. Se simboliza: lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 Se lee: Límite de la función 𝑓(𝑥) cuando x tiende a c, es igual a L. Conclusión: El límite de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 cuando x tiende a 2 es igual a 3. Se escribe: lim𝑥→2 2𝑥 − 1 = 2.2 − 1 = 𝟑. Obs. lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿nosindica como se comporta la función en las cercanías al valor c, tanto por la derecha como por la izquierda, pero no necesariamente en el valor c. Límites laterales. lim𝑥→𝑐− 𝑓(𝑥) = 𝐿 significa cuando x se aproxima a c por la izquierda el valor de la función se acerca a L. lim𝑥→𝑐+ 𝑓(𝑥) = 𝐿significa cuando x se aproxima a c por la derecha el valor de la función se acerca a L. La afirmación lim𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) = 𝐿 es equivalente a la existencia simultánea de los dos límites laterales lim𝑥→𝑐− 𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim𝑥→𝑐+ 𝑓(𝑥) = 𝐿.

2.1.

Desarrollo del tema

Sabemos que los límites son expresiones abstractas, es decir, nunca se pueden tocar ni visualizar, simplemente se entienden los conceptos básicos, teoremas y cómo trabajar con estos, y para eso tenemos que estudiar algo de teoría que se abordará a continuación, avancemos.

El límite de una función.

Sea la función

la función f está definida para todos los valores de (x), excepto en x=1 y la función puede simplificarse a: f(x) = 3x+1 si x≠1.

Vamos a tabular dando valores a (x) cada vez más próximos a 1.0, que es donde vemos que se abre la función en la gráfica, pero menores que 1.0 y observemos qué valores adquiere la función f(x).

x	0	0.5	0.75	0.9	0.99	0.999	0.9999
f(x) = 3x +	1.0	2.5	3.25	3.7	3.97	3.997	3.9997

Ahora demos valores a (x), cada vez más próximos a 1, pero mayores que 1, y observemos los valores que adquiere f(x).

x	2.0	1.5	1.25	1.1	1.01	1.001	1.0001
f(x) = 3x +	7.0	5.5	4.75	4.3	4.03	4.003	4.0003

En las tabulaciones anteriores vemos que a medida que (x) se aproxima más a 1, f(x) se aproxima más a 4 y mientras más cerca se encuentra (x) de 1, f(x) estará más cerca de 4. Estas aproximaciones de la variable (y) de la función o f(x), pueden expresarse de la siguiente manera:

f(x) = 4

Otra forma de expresar esto es hacer |f(x)-4| tan pequeño como se desee, haciendo |x-1| lo suficientemente pequeño para lograrlo.

A la primera diferencia |f(x)-4| se le asigna el símbolo (épsilon) y a la segunda |x-1| le llamamos (delta) y diremos que |f(x)-4| será menor que , siempre que |x-1| sea menor que y mayor que cero, ya que x≠1. Es importante hacer notar que la magnitud de depende de la magnitud de . Resumimos diciendo que existe algún número positivo lo suficientemente pequeño como para que |f(x)-4| < ε siempre que 0< |x-1| <δ.

Esta explicación anterior se encuentra en la literatura generalizada de la siguiente manera:

Sea f una función que está definida en todo punto de algún intervalo abierto que contenga a (a), excepto posiblemente en el número (a) mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a (a) es L y se denota como:

f(x) = L

Si para cualquier ε>0, por pequeño que sea, existe un δ>0: |f(x)-L|<ε siempre que 0< |x-a| <δ. Es necesario hacer notar que no se requiere que f(x) exista para que f(x) exista.

Entonces, lo que esto significa es que al variar (x) en valores muy pequeños, f(x) cambia también en valores pequeños hasta aproximarse a un límite L.

Resolver problemas de límites puede hacerse por tabulación, es decir, aproximando la variable (x) hacia algún valor para observar hacia qué valor se aproxima la función, o utilizando la definición:

Ahora el propósito es presentar los teoremas que pueden utilizarse para simplificar el procedimiento del cálculo de límites, con los cuales será posible determinar límites de funciones sin hacer referencia a ε o δ.

Teorema 1: Si a y c son números reales cualesquiera, entonces: C=C.
Teorema 2: Si a es un número real cualquiera: x=a.
Teorema 3: Si a, b y c son números reales, entonces: (mx+b) = ma+b.
Teorema 4: Si f(x) =L1 y g(x) =L2 entonces: