UNIDAD II- CLASE II - REGLAS DE DERIVACION ALGEBRAICA

 REGLAS DE DERIVACION ALGEBRAICA

1. En la clase pudimos ver 6 de distintas reglas sobre la derivación, claramente hacen mas fácil al resolver, sentí que es una manera mas sencilla, y comprendí un poco mas el tema de las derivadas.

Repasamos varias leyes de los exponentes y signos, la suma y resta de fracciones. El secreto sigue siendo buscar mas información y ponerlo en practica.

2. 

1.8.4 Reglas de derivación

A continuación te mostraremos algunos ejemplos para que notes cómo se van desarrollando las reglas de derivación.

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La derivada de una constante

Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.

f(x) = 7f '(x) = 0

 

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La derivada de una potencia entera positiva

Como ya sabemos, la derivada de xⁿ es n x^n-1, entonces:

f(x)= x⁵f '(x)= 5x⁴ 

   Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x⁵, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.

 

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La derivada de una constante por una función.

Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:>

 

f(x)= 3x5  f '(x)= 3(5x4) = 15x4

 

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La derivada de una suma

Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:

 

f(x)= 2x3 + x  f '(x)= 6x2 + 1

 

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La derivada de un producto

Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".

 

f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5)  f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)

 

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La derivada de un cociente

Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.

 

	f			f 'g - fg'
[		]'	=
	g			g2

 

  Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.

 

		4x + 1
f(x)	=
		10x2 - 5
		4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1)
f '(x)	=
		(10x2 - 5)2

 

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Las derivadas de las funciones trigonométricas

Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.

 

f(x) = sen(x) 

f(x+h) - f(x)		sen(h + x) - sen(x)
	=
h		h
		cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
	=
		h
		cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
f '(x) =	Lim[		] = cos(x)
	h0	h

 

  Ahora daremos el resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.

 

f(x)= sen(x)	f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x)	f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x)	f '(x)= sec2(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x)	f '(x)= -csc2(x)
f(x)= sec(x)	f '(x)= sec(x) tan(x)
f(x)= csc(x)	f '(x)= -[cot(x) csc(x)]

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La regla de la cadena

Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)⁴, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.

 

f(x)	=	(3x + 5)2	=	9x2 + 30 x + 25
f '(x)	=	18x + 30	=	6(3x + 5)
f(x)	=	(3x + 5)3	=	27x3 + 135x2 + 225x + 125
f '(x)	=	81 x2 + 270x + 225	=	9(3x + 5)2
f(x)	=	(3x + 5)4 =	81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625
f '(x)	=	324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3
f(x)	=	(3x + 5)5
	=	243x5 + 2025x4  + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125
f '(x)	=	1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375
	=	15 (3x + 5)4

 

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4. 

5.      

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