Unidad I, Clase III, Limites por racionalización

enero 28, 2024

Unidad I, Clase III, Limites por racionalización

LIMITES POR RACIONALIZACION

1. Aprendizaje personal:

El día de hoy fue la tercera clase, la verdad iba con un libro abierto para entender y poder razonar bien las cosas, me surgieron varias dudas, que me daba pena preguntar, de igual manera revisare mas videos, y voy a practicar sola los ejercicios para poder entender aun mas.

Continuamos con el tema de limites , solo que fue Nivel II, un poco mas complicados, el tema es limites por racionalización, la diferencia de los primeros ejemplos es que traen una raíz, ya sea arriba o abajo.

Aprendí palabras que no conocía, tales como: la ley de la tortilla, multiplicar por su conjugado.

Sigo fallando en las leyes de los signos. El profe nos dio la idea de imprimirlos y pegarlos en nuestro cuaderno.

Fue una clase pesada, siento que estoy un poco bloqueada, sigo con miedo, solamente que pienso en vencerlo.

2. Conocimientos complementarios:

Este tipo de limites se presenta cuando aparece una raíz en el numerador o el denominador de una función racional y está al ser evaluado el limite se vuelve cero en el denominador.
Racionalizar una fracción consiste en conseguir que su denominador sea racional y , podemos considerarlo como un proceso de simplificación.
Ejemplos:

Resultado de imagen para limites racionalizacion Imagen relacionada

Para estos limites tenemos que tener en cuenta lo siguiente:

Conjugado de un termino

Es un binomio que se toma con diferente signo entre dos factores.

Ejemplo:

Para resolver los limites se realiza los siguientes pasos:

Se escribe el conjugado del termino que tenga raíz
Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado
Se realiza las operaciones de multiplicación
Se elimina el termino que se resuelve cero en el denominador y en el caso de ser necesario se factoriza
Se evalúa el valor del limite

2.1.

Dentro de nuestro estudio de Cálculo Diferencial ,Existen también límites que se indeterminan de la forma 0/0 en la cual es necesario racionalizar el numerador o denominador, esto con el fin de poder encontrar una solución que nos permita encontrar la existencia del límite. Para ello vamos a comprender mejor el tema con algunos ejercicios resueltos.

Veamos el siguiente ejemplo y su solución:
Problema 1.- Observe el siguiente límite y encuentre el valor mediante el uso de racionalizar el denominador o numerador según sea el caso
$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}$

Veamos los pasos de solución:
1️⃣ Paso 1:
Evaluamos el límite para ver si el límite se indetermina o no:
$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}=\frac{3-3}{\sqrt{3+22}-5}=\frac{0}{\sqrt{25}-5}=\frac{0}{5-5}=\frac{0}{0}$
Comprobamos que el límite se indetermina.
2️⃣ Paso 2:
Racionalizamos el denominador, y después dividimos los factores comunes.

Multiplicando por el conjugado

$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}\cdot \frac{\sqrt{x+22}+5}{\sqrt{x+22}+5}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)\left( \sqrt{x+22}+5 \right)}{{{\left( \sqrt{x+22} \right)}^{2}}-{{5}^{2}}}$
Esto daría como resultado:
$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)\left( \sqrt{x+22}+5 \right)}{{{\left( \sqrt{x+22} \right)}^{2}}-{{5}^{2}}}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)\left( \sqrt{x+22}+5 \right)}{x+22-25}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-3)\left( \sqrt{x+22}+5 \right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x+22}+5$
3️⃣ Paso 3:
Evaluando el límite:
$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{x+22}+5=\sqrt{3+22}+5=\sqrt{25}+5=5+5=10$
Respuesta:
$\displaystyle \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-3}{\sqrt{x+22}-5}=10$