UNIDAD I, CLASE IV - CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
1. APRENDIZAJE PERSONAL:
2. CONOCIMIENTO COMPLEMENTARIO:
Definición formal:
La función es continua en el punto si
La función es continua si es continua en todos los puntos.
La función es continua en el punto si
La función es continua si es continua en todos los puntos.
Por ejemplo, la función no es continua en porque no existe .
Observaciones:
En realidad, para hablar de continuidad en un punto , debería ser indispensable que el punto pertenezca al dominio de la función.
Por ejemplo, el dominio de es y la función es continua en su dominio. Sin embargo, no existe el límite de cuando ni existe , por lo que decimos que no es continua en .
Como normalmente consideramos a todas las funciones como , tenemos que calcular primero el dominio de la función y, después, la continuidad en el dominio.
Funciones elementales:
Funciones polinómicas
Son continuas en todos los reales.
Son continuas en todos los reales.
Funciones racionales
Son continuas en todos los reales excepto en los que anulan al denominador.
Son continuas en todos los reales excepto en los que anulan al denominador.
Funciones exponenciales
Como regla general, son continuas en todos los reales. Cuando la base es no positiva, , puede haber complicaciones.
Como regla general, son continuas en todos los reales. Cuando la base es no positiva, , puede haber complicaciones.
Funciones logarítmicas
Son continuas en todos los reales positivos.
Son continuas en todos los reales positivos.
Funciones irracionales
Si es par, son continuas en todos los reales. Si es impar, en los reales positivos.
Si es par, son continuas en todos los reales. Si es impar, en los reales positivos.
Funciones trigonométricas
El seno y el coseno son continuas en todos los reales. La tangente no es continua en para todo entero .
El seno y el coseno son continuas en todos los reales. La tangente no es continua en para todo entero .
2.1.
Definición formal
Una función es continua en el punto si el límite de la función por ambos lados de coincide con su imagen, .
Es decir, es continua en si
Si esto no ocurre, o bien, no existe , se dice que es discontinua en el punto .
Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.
Ejemplo
La función no es continua en porque sus límites laterales no coinciden y, además, no existe la imagen de :
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