UNIDAD III, CLASE I - Derivadas exponenciales y logaritmicas

 Derivadas exponenciales y logaritmicas

1. En esta clase como en todas las anteriores, continuamos viendo el tema de las derivadas, agregamos otras tres, un poco mas faciles(claro el profe las pone un poco mas dificil para hacernos pensar).

Jugamos loteria con las diferentes formulas que llevamos, fue divertido y a la vez nos pusimos a pensar (como siempre) y a tratar de aprender un poco mas, los ganadores nos dieron puntos extras(fue una muy buena motivacion)

2. 

DERIVADAS DE EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Sugerencias para para calcular derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

• Si una función logarítmica contiene productos, cocientes o potencias, es útil utilizar las propiedades de los logaritmos.
• Para derivar una función que contiene varios productos, cocientes y potencias se recomienda utilizar derivación logarítmica.
• Si una función tiene la base variable y la potencia variable, par calcular la derivada se debe utilizar derivación logarítmica.
• La derivación logarítmica consiste en aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación, luego utilizar las propiedades de los logaritmos y finalmente derivar implícitamente la expresión resultante.

Documentos del tema

1. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas

Problema resuelto 1

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Problema resuelto 2

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Problema resuelto 3

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Problema resuelto 4

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2. 

Para obtener las derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales se sigue la fórmula correspondiente. Las fórmulas se muestran a continuación.

$\frac{�}{��}���=\frac{1}{�}$ $\frac{�}{��}{�}^{�}={�}^{�}$

$\frac{�}{��}��{�}_{�}�=\frac{1}{�}��{�}_{�}�$ $\frac{�}{��}{�}^{�}={�}^{�}���$

La manera de emplearlas se muestra más adelante, en la sección de ejemplos.

Justificación

Obtención de la fórmula de la derivada de $\frac{�}{��}{�}^{�}$, que en este caso se obtiene mediante derivación implícita.

$�={�}^{�}$

Aplicando $��$ en ambos miembros tenemos

$\begin{array}{rl}{\displaystyle ���}& {\displaystyle =��({�}^{�})}\\ {\displaystyle ���}& {\displaystyle =����}\end{array}$

y derivando implícitamente queda

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{�}{�}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =(1)���}\\ {\displaystyle {�}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =����}\end{array}$

Sustituyendo la función inicial, obtenemos la fórmula buscada

$\frac{�}{��}{�}^{�}={�}^{�}��$

La fórmula de $�={�}^{�}$ se obtiene de manera similar, pero las que incluyen logaritmos se obtienen aplicando la definición con el límite y las propiedades de los logaritmos.

3. 

4. 

5. 

I. https://matematicaenlinea.com/recursos/basica2/derivadas/derivadas-de-exponenciales-y-logaritmicas/

II. https://prometeo.matem.unam.mx/recursos/Bachillerato/DGEE_DGTIC_IMATE/recursos/3_025/index.html