UNIDAD IV, CLASE I - Calculos de maximos & minimos

 CALCULO DE MAXIMOS Y MINIMOS

El dia de ayer teniamos la penultima clase de calculo, miramos un tema un poco enredoso, no entendi muy bien, tengo que buscar revisar vidos y entenderle un poco mejor, a lo que pude lograr entender una funcion puede tener un valor maximo y uno minimo, se debe comenzar sacando primera derivada, igualar a 0, se convierte en una ecuacion y asi podemos podemos encontrar el valor de x, para despues graficarla.

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MÁXIMOS Y MÍNIMOSLos valores máximos de una función son los valores más altos de esta, mientras que los valores mínimos, como lo dice su nombre, se refiere a los valores más pequeños que dicha función puede tomar; ya sea en un intervalo determinado o de menos infinito a infinito. Para la comprensión plena de este tema, seis conceptos son vitales: PUNTO MÁXIMO RELATIVO Y PUNTO MÍNIMO RELATIVO: ​Debido a que muchas funciones tienen valores que van desde menos infinito a infinito es más sencillo referirse a los valores como punto máximo relativo y punto mínimo relativo, en estos dos puntos la recta tangente a la curva es completamente horizontal, por lo que su pendiente es igual a 0, aplicando los conocimientos con los que contamos podemos saber que igual, la derivada de la función va a tener el valor de 0. Estos puntos también determinan los intervalos crecientes y decrecientes. Pasos para encontrar los puntos mínimos y máximos: Se obtiene la derivada de la función. Se iguala la derivada a cero para luego resolver la ecuación y así encontrar los valores de x, dichos valores son llamados valores críticos. Se saca la segunda derivada de la función y se evalúa la función con los valores críticos previamente obtenidos. Si el resultado es menor a cero entonces tenemos un punto máximo y si es mayor a cero entonces es un punto mínimo. Los valores críticos se evalúan en la función original para obtener el valor de "y", así determinamos las coordenadas de dichos puntos. INTERVALOS CRECIENTE Y DECRECIENTE:​ Se dice que una función es creciente cuando entre mayor sea el valor de x, mayor será el valor de y. Puesto en palabras más simple va hacia delante y arriba.  En cambio, una función es decreciente cuando entre mayor sea el valor de x, menor será el valor de y. Se puede decir entre más avanza, más se sumerge. Determinar los intervalos crecientes y decrecientes de una función: Obtenemos la de derivada de la función. Se determinan los valores críticos. Se ubican dichos valores en una recta. Se buscan números entre los parámetros y se sustituyen en la derivada. *Si la derivada es mayor a cero, es creciente. *Si la derivada es menor a cero, es decreciente. CONCAVIDAD: ​Característica de una curva en el entorno de un punto en el que la tangente no la atraviesa. Se dice que dicha curva, en el punto dado, presenta una concavidad hacia el lado donde no se encuentra la tangente. la concavidad puede ser determinada por medio de la segunda derivada. Una función es cóncava hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por debajo de la curva. De forma inversa, una función es cóncava hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están encima de la curva. En un punto de la función cambia la concavidad, este punto es conocido como punto de inflexión. PUNTO DE INFLEXIÓN: El punto de inflexión es aquel en donde  la recta tangente atraviesa la gráfica de la función y ocurre un cambio de curvatura ya sea de cóncava a convexa o convexa a cóncava. Por lo tanto éste punto nos representa el cambio de concavidad en la función. Con este punto podemos determinar los intervalos de concavidad.   MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio. Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos). Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función. Máximos y mínimos absolutos Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio. El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio. El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio. Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales. Máximos y mínimos relativos Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio. Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales. La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha. En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo relativo de f si: También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente. La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha. En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en m. Entonces m es mínimo relativo de f si: También se puede decir que m es un mínimo relativo en su entorno si a la izquierda la función es decreciente y a la derecha creciente. Teorema de los valores extremos Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo. No se asegura que existan extremos absolutos si se define en un intervalo abierto. Este teorema confirma la existencia de un máximo absoluto y un mínimo absoluto en una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], pero no define como se calcula. Para calcularlos el procedimiento es el siguiente: Derivar la función, obteniendo f ’(x). Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0. Supongamos que las raíces de f ’ son {r1, r2,…,rn}. Se calcula la imagen de los extremos del intervalo (f(a) y f(b)). También se calcula la imagen de las raíces ( f(r1) ,  f(r2) ,…, f(rn) ). El máximo y mínimo absolutos de f serán: 3.   4.  5. https://calculus502.weebly.com/maacuteximos-y-miacutenimos https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/maximos-minimos-funcion/