UNIDAD I- CLASE III - SOLUCION DE INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE

 SOLUCION DE INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE 

1. En la clase del dia de hoy, revisamos un tema un poco complejo (Al principio no tanto).

Es una forma mas facil para resolver integrales (solo de cierto tipo).

A lo que entendi, es mas que nada observar la integral y ver que procedimiento aplica (Como en todas claro). Es meramente derivar( eso nos se me dificulta tanto), el despeje( ese si se me complica) y las fracciones ( que tambien se me dificultan).

Me gusta mucho trabajar con Tania porque me apoya mucho,siempre busca la mejor manera de explicarme y siempre comparamos respuestas!!

2. 

Método de sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

 

2Se sutituye la diferencial en la integral:

3 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

4 Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo: Resuelve empleando integración por cambio de variable, la integral

1 Realizamos el cambio de variable

Calculamos la diferencial

2Sustituimos en la integral y simplificamos el integrando

3Resolvemos la nueva integral

4Regresamos a la variable inicial, para ello empleamos 

Así la solución buscada es

La integración por cambio de variable es la inversa de la regla de la cadena para las derivadas.

Integrales por cambio de variable

Las integrales por cambio de variable —también conocidas como integrales por sustitución de variable— se realizan introduciendo una nueva variable en la ecuación y utilizando esta elección de cambio para que la integral sea más fácil de resolver.

Siempre que hagamos una integral por cambio de variable, debemos cambiar, también, el diferencial en la integral; ya que ahora estaremos considerando el área con respecto a un cambio en una variable diferente. Esto lo hacemos diferenciando el cambio de variable y, luego, tratando el diferencial del cambio de variable (por ejemplo ${\displaystyle \frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}}$) como una fracción, para reemplazar el diferencial original.

Pasos para resolver integrales por cambio de variable

El método general para realizar la integración por cambio de variable es el siguiente:

1. Elegir un cambio de variable que permita cambiar todos los términos y facilitar al máximo la integral.

2. Diferenciar el cambio de variable, de forma que podamos cambiar el diferencial.

3. Realizar el cambio de variable.

4. Completar la integral.

5. Deshacer el cambio de variable.

Para comprenderlo mejor, veamos este caso:

Utiliza la integración por cambio de variable para integrar: $\int {\displaystyle \frac{2𝑥+7}{{𝑥}^2+7𝑥+14}}𝑑𝑥$.

Solución

Intenta, primero, un cambio de variable de: $𝑢={𝑥}^2+7𝑥+14$.

Si utilizas este cambio de variable, entonces:

$${\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{𝑑𝑥}}=2𝑥+7$$

$$𝑑𝑥={\displaystyle \frac{𝑑𝑢}{2𝑥+7}}$$

A continuación, sustituye esto en la integral:

$${\displaystyle \frac{2𝑥+7}{{𝑥}^2+7𝑥+14}}𝑑𝑥=\int {\displaystyle \frac{2𝑥+7}{𝑢}}=\int {\displaystyle \frac{1}{𝑢}}𝑑𝑢$$

Esto es ahora una integral estándar, por lo que podemos integrarla.

Como ya hemos visto, esto se integra a $𝑙𝑛|𝑢|$:

$$\int {\displaystyle \frac{1}{𝑢}}=𝑙𝑛|𝑢|+𝑐=𝑙𝑛|{𝑥}^2+7𝑥+14|+𝑐=𝑙𝑛|({𝑥}^2+7𝑥+14)|+𝑐$$

al ser el argumento del logaritmo una función cuadrática, podemos eliminar el valor absoluto, ya que la función dentro del mismo siempre será mayor que 0.

3. 

4.  

5. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integracion-por-sustitucion-o-cambio-de-variable.html

https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/integrales-por-cambio-de-variable/