INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

1.Seguimos con tema un poco extenso, y sigo pensando que quisiera tener mas tiempo para que el profe nos explicar mas sobre el tema.

Es un poco dificil pues solo es una clase, aun continuamos intentando entender, siento que cada vez se pone mas desafiantes los temas. Y como es costumbre del profe pues nos ayuda mas poniendonos a pensar con sus ejercicios. Sin duda alguna es el Profe Alex, siendo el profe Alex!!

2. Fracciones parciales

Función racional propia

Si se considera una función racional H definida por:donde P(x) y Q(x) son polinomios. Se dice que H(x) es una fracción propia, siempre y cuando el grado de P(x) (numerador) sea menor que el grado de Q(x) (denominador).

Si se tiene una fracción propia se puede empezar el procedimiento de fracciones parciales, en caso contrario se deber realizar operaciones algebraicas, como la división de polinomios o la división sintética para llegar a una fracción propia.

El método general de solución, por fracciones parciales, busca descomponer una fracción propia de la forma: P(x)/Q(x) en dos o más fracciones parciales.

Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen al factorizar Q(x) en un producto de factores lineales o cuadráticos. Después de factorizar como un producto de factores lineales o cuadráticos, se consideran 4 casos:

Fracciones parciales

Es un procedimiento para integrar funciones racionales

Se hace referencia a integrales de un cociente de funciones, del tipo

Por lo que se debe recordar que es es común expresar una suma de expresiones racionales de la forma:

Pero en este caso se requiere el proceso inverso, es decir, representar una expresión racional simple como la suma de dos o más cocientes simples denominados fracciones racionales. Procedimiento necesario en la solución de integrales de algunas funciones racionales.

2. Existen 4 casos de fracciones parciales:

CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS.

En este caso a cada factor lineal de la forma ax + b del denominador le corresponde una constante, se aumentara en numero de constantes dependiendo de cantos factores se tenga en el denominador.

Nota: Todas las integrales que utilicen este caso su resultado sera el logaritmo natural de cada uno de los factores.

CASO 2: FACTORES LINEALES REPETIDOS

El numero de factores será igual al grado (exponente) del polinomio; es decir; a cada factor lineal ax+b que figure n veces en el denominador le corresponde una suma de fracciones de la forma :

Nota: Una de las integrales correspondientes a este caso da como resultado un logaritmo natural, mientras que las restantes se resuelven mediante un cambio de variables.

CASO 3:FACTORES CUADRÁTICOS DISTINTOS

En este caso a cada factor le corresponderán dos constantes, de las cuales una de estas será el coeficiente del termino lineal. El denominador contiene factores de segundo grado, pero ninguno de estos se repite.
A todo factor no repetido de segundo grado, como