LONGITUD DE UN ARCO

Longitud de un arco

1. El tema anterior hasta ahorita considero que es el mas largo. Es poner en practica lo que emos vito durante dos cuatrimestres, comenzando por la derivada.

Es un poco tedioso llegar al resultado porque tienes que analizar todo, y aplicando alguno de los metodos que el profe nos enseño si nos da el resultado, nuestro gram problema es analizar y saber que motodo elegir. Y eso que el profe solo nos enseño las mas faciles por asi decirlo.

La longitud de un arco es un tema bastante complejo, jamas me ubiera podido imaginar que una curva se podia medir y menos aplicando la derivada y la integral.

2. 

Longitud del arco

Si se tiene una función  derivable en un intervalo , entonces podemos medir la longitud de la gráfica en este intervalo. Esta longitud se conoce como la longitud del arco de la curva 

Para encontrar la longitud de arco empleamos la siguiente fórmula que viene dada por la integral definida

Ejemplo: Hallar la longitud del arco de la función   en el intervalo .

1Derivamos la función

2Sustituimos en la fórmula de longitud de arco

3Resolvemos la integral

4Completamos la integral

5Hacemos , luego su derivada es . Resolvemos la integral de la función potencia

6Así, la longitud de arco es

Longitud de Arco de una Curva y Área de Superficie

En esta sección, utilizamos integrales definidas para encontrar la longitud del arco de una curva. Podemos pensar en la longitud del arco como la distancia que recorrías si estuvieras caminando por el camino de la curva. Muchas aplicaciones del mundo real implican la longitud del arco. Si se lanza un cohete a lo largo de una trayectoria parabólica, tal vez queramos saber hasta dónde viaja el cohete. O bien, si una curva en un mapa representa una carretera, podríamos querer saber hasta dónde tenemos que conducir para llegar a nuestro destino.

Comenzamos calculando la longitud del arco de las curvas definidas como funciones dex$𝑥$, luego examinamos el mismo proceso para las curvas definidas como funciones dey$𝑦$. (El proceso es idéntico, con los papeles dex$𝑥$ yy$𝑦$ invertido.) Las técnicas que utilizamos para encontrar la longitud del arco se pueden extender para encontrar la superficie de una superficie de revolución, y cerramos la sección con un examen de este concepto.

Longitud de Arco de la Curva y = f (x)

En aplicaciones anteriores de integración, requeríamos quef(x)$𝑓(𝑥)$ la función fuera integrable, o como mucho continua. Sin embargo, para calcular la longitud del arco tenemos un requisito más estricto paraf(x)$𝑓(𝑥)$. Aquí, requerimosf(x)$𝑓(𝑥)$ ser diferenciables, y además requerimos que su derivado,f'(x),$𝑓\prime (𝑥),$ sea continuo. Funciones

Longitud de arco paray=f(x)$𝑦=𝑓(𝑥)$

Dejarf(x)$𝑓(𝑥)$ ser una función suave sobre el intervalo[a,b]$[𝑎,𝑏]$. Entonces la longitud del arco de la porción de la gráfica def(x)$𝑓(𝑥)$ desde el punto(a,f(a))$(𝑎,𝑓(𝑎))$ hasta el punto(b,f(b))$(𝑏,𝑓(𝑏))$ viene dada por:

=∫ba1+[f'(x)]2−−−−−−−−−√dx.

3.  

4. 

5. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/longitud-del-arco.html

https://espanol.libretexts.org/Matematicas/Libro%3A_Calculo_(OpenStax)/06%3A_Aplicaciones_de_Integraci%C3%B3n/6.04%3A_Longitud_de_Arco_de_una_Curva_y_%C3%81rea_de_Superficie